Есть ли в современном русском языке деепричастия на -ши?

Да, но очень мало.

Они образуются от двух типов глаголов:

— которые оканчиваются на -чь;
— у которых перед -ти в начальной форме согласная.

Примеры:

испечь — испёкши, увлечь(ся) — увлёкши(сь), сберечь — сберёгши, обжечь(ся) — обжёгши(сь)

Спасти — спáсши, отползти — отползши, соскрести — соскрёбши, затрястись — затрясшись, расцвести — расцветши.

Всё это кодифицированные (литературные) варианты. Например, деепричастие от «соскрести» в «Словаре трудностей» Н. А. Еськовой:

Однако единообразия здесь нет. Например: привезти — привезя, отнести(сь) — отнеся(сь), ввести — введя, обрести — обретя, набрести — набредя.

К некоторым деепричастиям на -я существуют варианты на -ши, которые воспринимаются как устаревшие: приведши, нанёсши, забредши, обретши.

Подавляющее большинство глаголов образует деепричастия совершенного вида с помощью суффикса -в. Прочитать — прочитав. У деепричастий отмерев, заперев, растерев, распростерев (от распростереть) изредка фиксируются допустимые варианты зáмерши, óтперши, протёрши, распростёрши.

Читать ещё: Глаголы, от которых не образуются деепричастия

Раньше деепричастия на -в(ши) свободнее образовались от глаголов на -нуть. Завянуть — завянув — завянувши, но потом эти формы были вытеснены, сейчас они считаются стилистически сниженными или архаичными.
Точно так же могли употребляться формы от глаголов на -ать вроде прочитавши. В русской литературе много подобных случаев, ещё вспомним выражение «Несолоно хлебавши».

В «Русской корпусной грамматике» написано, что количество форм на -ши сейчас составляет менее 0.5% от количества форм на -а(я). Для сравнения: до начала XX века целых 20 % употреблений приходилось на суффикс -ши (пришедши, привезши, принесши).

И только у многочисленных возвратных глаголов нет проблем с образованием деепричастий на -вши- с последующим -сь:

расписаться — расписавшись, натерпеться — натерпевшись, воспользоваться — воспользовавшись.

Подписывайтесь на мой телеграм-канал по русскому языку