Как правильно: по несколько или по нескольку? Для начала приведём полное склонение слова «сколько»:

ско́льких, ско́льким, ско́лькими, о ско́льких, по ско́льку и по ско́лько.

Ударение на «и» в любых падежах орфоэпическая норма не признаёт.

Возможно употребление предлогов «во», «ко» (наряду с «в», «к»).

Во ско́льких (и в ско́льких) случаях. Ко ско́льким (и к ско́льким) событиям (примеры из «Словаря трудностей…» Н. А. Еськовой 2014 г.).

Синонимы «до ско́льких» в зависимости от контекста: до которого часа, до какого времени, во сколько.

В «Русском орфографическом словаре РАН» фиксируются формы по сколько-нибудь и по скольку-нибудь; по сколько-то и по скольку-то.

По несколько или по нескольку

Что касается слова «несколько», то это редкий случай, когда наречие склоняется как прилагательное или числительное, если оно связано с зависимым словом: несколько раз, несколько человек.

Несколько, нескольких, нескольким.. Поэтому первоначальный вариант по нескольку раз, так же, как и по многу раз. Однако уже признаются правильными словоформы по несколько раз, по много раз.

Ещё в справочнике по пунктуации и управлению Д. Э. Розенталя отмечалось:

по нескольку и (разг.) по несколько. Разместить по нескольку (по несколько) человек в палатках. Еще раз запрещаю вам находиться в цехе неотлучно по нескольку дней (Ажаев).

Подписывайтесь на мой телеграм-канал по русскому языку